4-Punkt-Toolvermessung - Mathematik dahinter

Hallo,

meine Frage habe ich 1-2x hier und/oder im Netz gefunden, jedoch keine wirkliche Antwort dafür gefunden; es geht um die Mathematik hinter der KUKA 4-Punkt-Toolvermessungs-Methode.

Was ich bisher habe:
1. Nachdem ich einen Punkt mit meinem Tool von 4 verschiedenen Positionen angefahren habe, kann ich durch diese 4 Flanschpositionen (im World-Koordinatensystem ), eine Kugelgleichung aufstellen und mir die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ausrechnen (Kugel müsste durch 4 Punkte eindeutig sein, sofern die Punkte nicht auf einer Ebene liegen).
2. Diesen Kugelmittelpunkt muss ich, da er im World-Koordinatensystem gegeben ist, ins Tool-Koordinatensystem transformieren.
3. Das mache ich, in dem ich eine Rotationsmatrix aufstelle (Roll-Pitch-Yaw-Konvention, dabei verwende ich die Flansch-Orientierungen von einem meiner 4 Punkte), und multipliziere diese Matrix mit den XYZ-Koordinaten desselben Punktes, und multipliziere nun die dabei entstandene Matrix mit meinem Kugelmittelpunkt. Dadurch erhalte ich meinen TCP.

Das Problem ist nur: Anscheinend verwendet KUKA mir nicht bekannte Optimierungsalgorithmen, denn ich bekomme bestenfalls ähnliche Ergebnisse (~5mm Unterschied), schlimmstenfalls Unterschiede im 100mm Bereich. Rundungsfehler oder ähnliches sollten eigentlich nicht aufgetreten sein, habe das Ergebnis mit Anderen verglichen.

Weiß jemand vielleicht im Detail, was KUKA intern rechnet? Ich habe mich schon an die Hotline gewand und mir wurde gesagt, dass es an die Entwicklungsabteilung weitergeleitet wird - ob ich jedoch eine Antwort erhalten werde, weiß ich nicht.

WolfHenk
Weißt du zufällig, wo man eine Doktorarbeit, welche dieses Thema behandelt, finden kann, oder welchen Titel sie trägt?

hustrac
Das mit den Differenzen von 5-100mm muss meiner Meinung nach nicht zwingend mit grundlegend falschen Berechnungen zu tun haben: es reicht nämlich, wenn irgendwo Nachkommastellen verändert werden, damit das Ergebnis stark variiert --> Optimierungsproblem

WolfHenk
Danke, diese Arbeit habe ich schonmal überflogen gehabt, leider behandelt die Arbeit die Toolvermessung mittels eines externen Messsystems, die 4-Punkt-Methode wird nur kurz angesprochen, jedoch nicht weiter erläutert.

atw12az5
Laut Kuka schon

Habe heute nämlich von KUKA eine Antwort erhalten. Es heißt, dass ein best-fit durchgeführt wird, da nicht nur die Position, sondern auch die Orientierung betrachtet wird. Nur bin ich mir nicht sicher: Wie kann die Position (des Flansches?) die Position der Kugel (oder doch nicht von der Kugel?) beeinflussen? Wo wird da ein best-fit durchgeführt?

puck
Das ist die erste mathematische Erklärung, die ich im Netz zur TCP-Bestimmung sehe - vielen vielen Dank dafür!

An der Uni wurde mir ein (glaube ich) sehr ähnlicher Ansatz vermittelt, und Berechnungen mittels Excel und Wolframalpha liefern passable Ergebnisse - muss das nur noch gescheit implementieren

Jetzt habe ich aber noch ein weiteres Problem: Die ABC-2-Punkt Methode muss ich nämlich auch noch implementieren
Dabei werden ja drei Punkte im Tool-Koordinatensystem angefahren, wobei diese - so wie ich das sehe - eine Ebene aufspannen. Nun denke ich, dass ich auch eine Ebene im Flansch-Koordinatensystem bestimmen muss, und dann die Ausrichtungen dieser Ebene mit den Richtungen meiner Ebene im Tool-Koordinatensystem vergleichen muss, woraus sich dann der Orientierungsunterschied zwischen Tool und Flansch ergibt.

Würdet ihr sagen, dass das in die richtige Richtung geht?